1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK




Название1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK
страница1/16
Дата публикации21.12.2013
Размер1.5 Mb.
ТипРеферат
5-bal.ru > Математика > Реферат
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16



Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)
Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий
Кафедра математических методов в экономике
«Вероятностное знание ЁC вот предел человеческого разумения»

Цицерон.

Лекции по учебной дисциплине
Теория вероятностей и математическая статистика

Часть I. Теория вероятностей

Составил Алибеков И.Ю.


Москва, 2011

Содержание
Введение .................................................................................................................................................................4

Тема 1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK............................4

Случайные событияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..4

Классификация событий .................................................................................................................................5

1.3.Классическое определение вероятности ........................................................................................................6

1.4.Контрольные вопросы......................................................................................................................................7

Тема 2. Геометрическое и статистическое определения вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK8

2.1. Геометрическая вероятность ..........................................................................................................................8

2.2.Статистическая вероятность. Закон больших чисел. ....................................................................................9

2.3.Условная вероятность .................................................................................................................................... 10

2.4 Контрольные вопросы.....................................................................................................................................11

2.5.Задачи для самостоятельно решения ............................................................................................................11

Тема 3. Алгебра событий....................................................................................................................................12

3.1.Произведение событий ...................................................................................................................................12

3.2.Сумма событий. Свойства операций сложения и умножения событий. ...................................................12

3.3.Вероятность появления хотя бы одного из событий....................................................................................13

3.4.Принцип практической невозможности .......................................................................................................14

3.5.Контрольные вопросы.....................................................................................................................................14

Тема 4. Формула полной вероятности и формула БайесаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...15

4.1.Формула полной вероятности события ........................................................................................................15

4.2.Формула Бейеса ..............................................................................................................................................16

4.3.Контрольные вопросы.....................................................................................................................................17

4.4.Задачи для самостоятельно решения ............................................................................................................18

Тема 5. Схема БернуллиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.19

5.1. Частная теорема о повторении опытовЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.............................19

5.2. Независимые испытания с несколькими исходамиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK ЎKЎKЎKЎKЎKЎK....21

5.3. Формулы Муавра-ЛапласаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.21

5.3.1. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция Гаусса.ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...21

5.3.2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция ЛапласаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...23

Тема 6. Дискретные случайные величины....................................................................................................25

6.1. Классификация случайных величин.............................................................................................................25

6.2.Законы распределения дискретных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...26

6.2.1. Ряд распределения. Многоугольник распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK. ЎKЎKЎKЎKЎKЎK.26

6.2.2. Функция распределения ............................................................................................................................28

Тема 7. Числовые характеристики дискретных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.31

7.1. Характеристики положения. Математическое ожидание. Мода. МедианаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.31

7.2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонениеЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.34

7.3. Контрольные вопросыЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..36

Тема 8. Законы распределения дискретных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...36

8.1. Биномиальное распределение (закон Бернулли)ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...36

8.2. Закон ПуассонаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.37

8.3. Контрольные вопросыЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.39

8.4. Задачи для самостоятельного решенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..39

Тема 9. Непрерывные случайные величиныЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..39

9.1. Законы распределения непрерывных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..39

9.1.1. Интегральный закон распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...39

9.1.2. Плотность распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK40

Тема 10. Числовые характеристики непрерывных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK. 45

10.1. Математическое ожидание. Мода. МедианаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..45

10.2. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонениеЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.47

10.3. Моменты распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..48

10.4. Контрольные вопросыЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..51

Тема 11. Законы распределения непрерывных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK52

11.1. Закон равномерной плотностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK52

11.2. Задачи для самостоятельного решенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..54

11.3. Экспоненциальное (показательное) распределениеЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.55

11.4. Задачи для самостоятельного решенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..56

11.5. Нормальный закон распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.57

11.5.1. Плотность нормального распределения вероятностейЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..57

11.5.2. Нормальная функция распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..59

11.6. Задачи для самостоятельного решенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..62

11.7. Контрольные вопросыЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..63

Тема 12. Системы случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK63

12.1. Функция распределения системы двух случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK64

12.2. Плотность распределения системы двух непрерывных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.67

12.3. Таблица распределения системы двух дискретных случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK70

12.4. Условные законы распределения и их числовые характеристикиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...72

12.5. Зависимые и независимые случайные величиныЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...75

12.6. Числовые характеристики системы двух случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.77

Тема 13. Функции случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK82

13.1. Числовые характеристики функций случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..82

13.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.86

13.3. Законы распределения функций случайных величинЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK89

13.3.1. Закон распределения функции одного случайного аргументаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..89

13.3.2. Закон распределения функции двух случайных аргументовЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.94

13.3.3. Закон распределения суммы двух непрерывных случайных аргументов. Композиция законов распределенияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK96

Тема 14. Предельные теоремы теории вероятностейЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.100

14.1. Законы больших чисел. Центральная предельная теоремаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK100

14.1.1. Неравенство Чебышева ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...101

14.1.2. Теорема ЧебышеваЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK ..101

14.1.3. Теорема Бернулли ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...104

14.2. Центральная предельная теорема ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.105

Тема 15. Случайные функцииЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.108

15.1. Понятие случайной функцииЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK108

15.2. Закон распределения случайной функцииЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK109

15.3. Вероятностные характеристики случайных функцийЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.110

15.4. Стационарные случайные функцииЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...114
Тема 16. Вероятностные основы теории информацииЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK116

16.1. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системыЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.116

16.2. Энтропия и информацияЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.120
Приложение. Приближённые значения функции стандартного нормального распределенияЎK..122

ЛитератураЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...123
Введение
Обычно считают, что теория вероятностей возникла в середине XVII столетия, причем ее появление связывают с именами П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) и Х. Гюйгенса (1629-1695). Отправным пунктом исследований являлись задачи, связанные с азартными играми, особенно играми в кости, поскольку при их изучении можно ограничиваться простыми и понятными математическими моделями. Игра в карты ЁC тоже азартная игра, потому, что в ней главную роль играет случай - от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Математика случаяЎ¬ ЎЄ так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль

Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Гюйгенс в сочинении "О расчетах при игре в кости" писал: "...думаю, при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказали Д. Бернулли (1654-1705), А. Муавр (1667-1754), Т. Байес (1702-1763), П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840). Например, Д. Бернулли принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - так называемого "закона больших чисел". Теорема, которую он доказал, устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления.

Развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. Фундаментальные результаты были получены П. Л. Чебышевым (1821-1894), А. М. Ляпуновым (1857-1918), позже большой вклад в ее развитие внесли Е. Е. Слуцкий (1903-1987) и ряд других.
Тема 1. Классическое определение вероятности
Случайные события.
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний

суммарный результат массы однородных случайных явлений. Одна из важнейших задач любой науки ЁC найти закономерности в водовороте «случайных» явлений окружающей нас жизни.

Основателем теории вероятностей как строгой математической дисциплины является Колмогоров Андрей Николаевич (1903 ЁC1988). В 1933г. он опубликовал аксиоматическое построение этой теории. Одно из основных понятий теории вероятностей ЁC понятие случайного события. Его работа «Основные понятия теории вероятностей» (1933) новый этап в развитии теории вероятностей

как науки.

Для изучения физических явлений производят наблюдение и опыты, их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов обнаруживается разброс их результатов. Говорят, что результат измерения есть величина случайная. Математический аппарат для изучения таких случайностей и закономерностей в них дает

теория вероятностей.
Определение. Случайные события ЁC любые события или

факты, относящиеся к результату эксперимента, которые могут происходить или не происходить.
Название объясняется тем, что именно случай определяет, произойдет данное событие или не произойдет.

Отдельные случайные события в ТВ обозначают прописными латинскими буквами, например, A , B и т.д.

Не все случайные явления можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях.

Основной числовой характеристикой случайного события является его вероятность.

Пример

Испытание ЁC подбрасывание монеты; исходы испытания ЁC монета упала «орлом» или «решкой». Случайное событие ЁC выпадение решки или орла.

„Пѓn

Пример

Бросание игральной кости - выпадение цифр 1,2,3,4,5,6. Пусть производится серия из n испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A . Если в результате испытания наблюдалось (появилось) событие A , то такой исход испытания называется благоприятным исходом.
„«ѓnОпределение. Элементарное событие ЁC событие или каждый отдельный возможный результат испытания.

„«ѓnОпределение. Набор элементарных событий ЁC набор всех возможных отдельных результатов испытаний.
Парадокс игры в кости.

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12.

Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconПрограмма курса «Теория вероятностей»
Классическое (комбинаторное) определение вероятности. Свойства вероятности при таком определении. Пример комбинаторной задачи, для...

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconТема: Статистическое и классическое определение вероятности. Цели
Цели: 1 Сформулировать у учащихся понятие вероятности используя статистическое и классическое определение

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconЗадачи на классическое определение вероятности 1
Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconЗадачи на классическое определение вероятности 1
Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconЗадачи на классическое определение вероятности Задача 1
Задача Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся...

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconВектор Шепли. Мотивировка и определение
Определение. Автоморфизмом игры называется всякая перестановка  элементов множества N, удовлетворяющая условию: v(K)=v((K)) для...

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK icon§ Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях. Определение 1
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента X называется соотношение вида

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconАнализ научно-методической работы в мбоу «сош №42» за 2012/2013 учебный год
Цель анализа: определение уровня продуктивности научно-методической работы, объективная оценка результатов, определение проблем научно-методической...

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconДоклад на тему «Формирование общеучебных и специальных навыков на...
«Формирование общеучебных и специальных навыков на уроках географии в процессе изучения тем «Определение географических координат»,...

1. Классическое определение вероятностиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK iconАпелляционное определение
Северодвинске дело по частной жалобе представителя открытого акционерного общества на определение Северодвинского городского суда...


Учебный материал


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
5-bal.ru