Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω




НазваниеРешение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω
страница1/4
Дата публикации23.07.2013
Размер0.63 Mb.
ТипРешение
5-bal.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4

Гармонич колебат движ. Ур-е гармон колеб. Усл невозможности колеб движ.

Повторяющиеся движ или изменения сост наз-ют колебаниями. Всем колеб неза­висимо от их прир присущи некоторые общие закономер­ности. Колебания распр-ся в среде в виде волн. Среди разл видов колебаний наиболее простой формой явл гармоническое колебание, т.е. такое, при кот колеблющая­ся величина изм-ся в зависимости от времени по закону sin или cos. Гармонич колеб совершают: 1)пруж маятник(изм-ие упругой силы, согласно закону Гука, пропорц-но изм-ю длины пруж или смещению х точки: F=-kx), 2) Математ маятник. На материал точку действуют сила натяжения FH нити и сила тяжести тg. Их равнодействующая равна F=-mgtgα=-mgx/l=-kx, где k=mg/l, -kx=m(d2x/dt2), Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos(ωoo), где—фаза колебаний; φо—начальная фаза (при t=0); ωoкруговая частота колебаний, А—их амплитуда. Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются началь­ными условиями движения, т.е. положением и скоростью матери­альной точки в момент t=0. ωo определяет частоту колебаний системы и показывает, от каких факторов эта частота зависит: упругости и массы пружинного маятника в одном примере, длины нити и ускорения свободного падения — в другом. Период колебаний может быть найден из формулы

, период пружинною маятника: период математи­ческого маятника:





Сложение колебаний. Гармонический анализ. Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Такие колебания выражаются следующими уравнениями. Допустим, что частоты складываемых колебаний одинаковы тогда результи­рующее смещение точки

Сложение с помощью векторной диаграммы.

tg φо равен отношению проекции А на ось OY к проекции А на ось ОХ, т.е. Учитывая, что проекция суммы равна сумме проекций, имеем: , ,

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колеба­ний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями: Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т.е.==, тогда x=A1cos(ω001); y=A2cos(ω0t+φ02). При одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лисслжу. Под гармонич анализом понимают разложение сложных форм колебаний на простые. Гармонич анализ-метод аналитического мышления. Применяется в мед для биограмм и кардиограмм, эффективен при анализе голоса, часто применяется при исследовании структур молекул, спектра.

Распределение скорости течения жидкости в сосуде. Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра. Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую ско­рость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущие­ся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости непод­вижен. Для определения зависимостивыделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l. На торцах этого цилиндра поддерживаются давления р1 и p2 соответственно, что обусловливает результирующую силу На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жид­кости действует сила внутреннего трения , где — площадь боковой поверхности цилиндра. Т.к. жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: получаем Знак <—> в правой части уравнения обусловлен тем, что(скорость уменьшается с увеличением r). Получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы:

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (г = 0): формула Пуазейля:

Площадь сечения слоя ,, получаемоткуда интегрированием по всему сечению находим При заданных внешних условиях (р1 и p2) через трубу протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вяз­кость и больше радиус трубы. Сильная зависимость Q от радиуса обусловливается изменением не только объема, но и относительной доли слоев, расположенных вблизи поверхности трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электри­ческое сопротивление — гидравлическому сопротивлению: Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия м/у электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволя­ет в некоторых случаях использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соедине­ний проводника для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Общее гидравлическое сопротивление трех труб, соеди­ненных последовательно и параллельно Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р1 - p2)/l градиентом давленияи тогда

ВНУТРЕННЯЯ КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. ТЕРМОЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА В цепи, состоящей из разных металлов, возникает термоэлектродвижущал сила. Это явление, справедливое и для полупроводников, называют термоэлектричеством. Устройство, показанное на рис. называют термоэлементом или термопарой. Из видно, что β соответствует термо-э.д.с., возникающей в цепи при разности температур контактов, равной 1К, и является характеристикой термопары. Значительная термо-э.д.с. достигается не только выбором под­ходящей пары металлов или полупроводников или увеличением ∆ Т, но и последовательным соединением нескольких термопар в термобатарею (термостолбик). Термоэлектричество находит три основных применения: 1)для создания генераторов тока с прямым преобразованием молекулярно-тепловой энергии в электрическую; 2)для определения температур. Зная зависимость = f(∆Т), по измерениям можно найти ∆T, а следовательно, и Т. Удобство этого метода заключается в дистанционности и возможности изме­ рения температуры небольших объектов, поскольку сам контакт металлов или полупроводников может быть сделан достаточно малым. В медицине, в частности, это используется для нахождения температуры отдельных органов и их частей; 3)для измерения мощности инфракрасного, видимого и ультра­ фиолетового излучений. Возникновение термоэлектродвижущей силы в рассмотренном примере относится к группе термоэлектрических явлений. Так называют явления, в которых отражается специфическая связь между электрической и молекулярно-тепловой формами движения материи в металлах и полупроводниках.












Диэлектриками наз-ют тела, не проводящие электрического тока. Термин <диэлектрик> введен М. Фарадеем для обозначения веществ, через которые проникают электрические поля, в отличие от металлов, внутри которых электростатического поля нет. К диэлектрикам относят твердые тела, такие, как эбонит, фарфор, жидкости (например, чистая вода), газы. При изменении внешних условий (нагревание, радиоактивное облучение и т.п.) диэлектрик может проводить электрический ток. Изменение состояния диэлектрика при помещении в электрическое поле можно объяснить его молекулярным строением. Условно выделим три класса диэлектриков: 1) с полярными молеку­лами; 2) с неполярными молекулами; 3) кристаллические. К первому классу принадлежат такие вещества, как вода, нитро­бензол и др. Молекулы этих диэлектриков не симметричны, <центры масс> их положитель­ных и отрицательных зарядов не совпадают, и они обладают электрическим моментом дипо­ля даже в случае, когда электрического поля нет. Ко второму классу диэлектриков относят такие вещества, молекулы которых при отсутствии электрического поля не имеют дипольных моментов. В таких моле­кулах заряды электронов и ядер расположены так, что <центры масс> положительных и отрицательных зарядов совпадают. Если неполярную молекулу поместить в электрическое поле, то разно­именные заряды несколько смес­тятся в противоположные сторо­ны и молекула будет иметь дипольный момент.

Третий класс - кристаллические диэлектрики, решетка которых состоит из положительных и отрицательных ио­нов. Такой диэлектрик можно схематически рассматривать как совокупность двух <подрешеток>, одна из которых заряжена поло­жительно, другая - отрицательно. При отсутствии поля подрешетки расположены симметрично и суммарный электрический момент такого диэлектрика равен нулю. Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то подрешетки немного сместятся в противопо­ложные стороны и диэлектрик приобретет электрический момент.

Изменение напряженности электрического поля, в котором находится диэлектрик, будет влиять на состояние его поляризации. Охарактеризовать степень поляризации диэлектрика просто суммарным электрическим моментом диполя его молекул нельзя, так как эта величина зависит, в частности, от объема. Для оценки состояния поляризации диэлектрика вводят величину, называемую поляризованностью, среднее значение которой равно отношению суммарного электрического момента элемента диэлек­трика к объему этого элемента: (КЛ/М2). При поляризации диэлектрика. На одной его поверхности (грани) создаются положительные заряды, а на другой - отрицательные. Эти электрические заряды называют связанными, так как они принад­лежат молекулам диэлектрика (или кристаллической решетке при ионной поляризации) и не могут перемещаться и отрыве от молекул или быть удалены с по­верхности диэлектрика в отличие от свободных зарядов, которых в идеальном диэлектрике нет. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ. В кристаллических диэлектриках поляризация может возникнуть при отсутствии электрического поля при деформации. Это явление получило название пьезоэлектрическою аффекта (пьезоэффекта). Различают поперечный пьезоэффект и продольный. Существенный пьезоэффект возникает в костной ткани при наличии сдвиговых деформаций. Причина эффекта - деформация коллагена - основного белка со­единительной ткани. Поэтому пьезоэлектрическими свойствами обладают также сухожилия и кожа. При нормальной функциональ­ной нагрузке, а также при отсутствии дефектов в строении кости в ней существуют только деформации сжатия - растяжения и пьезо­эффект отсутствует. Когда что-то ненормально и возникает сдвиго­вая деформация, то возникает пьезоэффект. Он оказывает влияние на постоянно идущие в кости процессы разрушения и созидания и содействует тому, чтобы исчез сдвиг (меняется архитектура и даже форма кости). Указывают два возможных механизма воздействия пьезоэффекта: а) электрическое поле изменяет активность клеток, продуцирующих коллаген, и б) электрическое поле участвует в укладке макромолекул. Исследованием этого вопроса занимался В. Ф. Чепель.
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента X называется соотношение вида

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconРешение а Оба уравнения имеют корень число 1 и других корней не имеют,...
Основная цель пятого параграфа ― научить учащихся решать рациональные уравнения и применять их к решению текстовых задач

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconУрок алгебры в 8 классе по теме «Рациональные уравнения»
Проверить усвоение понятий рационального уравнения; проверить усвоение знаний квадратного уравнения, дискриминанта, биквадратного...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconРоманов В. И., Терещенко Е. Д., Худукон Б. З., Черняков С. М. Использование...
В. И., Терещенко Е. Д., Худукон Б. З., Черняков С. М. Использование первой функции когерентности второго порядка для исследования...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconУрок-семинар по теме «Решение уравнения cos x=a»
Цель: систематизация знаний по решению уравнений вида sin x=a, введении понятия «арккосинус числа а» и вывод формулы решения уравнения...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconТема: Решение задач с помощью рациональных уравнений
Учитель: Расположите карточки в той последовательности, в которой изучались эти темы: дробные рациональные уравнения, квадратные...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconМетодические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»
Решение задач на прямую на плоскости. Кривые второго порядка: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconУрока: Обобщающий урок по теме «Решение квадратных уравнений»
Обучающая цель: Коррекция умений и навыков; учащиеся должны знать формулы корней квадратного уравнения, теорему Виета, уметь решать...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconУрок №1 Тема урока: Бенефис квадратных уравнений
Цели урока: обобщение темы «Квадратное уравнение»: определение, неполные уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема...

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x=Acos ω iconУрок-исследование по теме "Уравнения, приводимые к квадратным"
Обучающая: привести в систему знания учащихся по данной теме (повторить теорию, выработать умение определять вид уравнения и выбирать...


Учебный материал


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
5-bal.ru