Институт заочного обучения




Скачать 428.71 Kb.
НазваниеИнститут заочного обучения
страница4/4
Дата публикации22.02.2015
Размер428.71 Kb.
ТипМетодические указания
5-bal.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4

Ответ: 756 д. ед.

Пример. Фирма производит товар двух видов в количествах Q1 и Q2. Функции полных издержек фирмы и спроса на каждый из этих товаров заданы в виде:

С(Q1,Q2) =2Q1 + 4Q2 + 1, P1(Q1) = 20 Q1, Р2(Q2) = 30 Q2, где P1 и Р2 ­ соответствующие цены. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят 61 д. ед.

Решение. Функция прибыли I(Q1,Q2) = (20Q1)Q1+ (З0Q2)Q2 2Q1 4Q2 l =

=249 (Q19)2  (Q213)2  249. Таким образом, максимум прибыли равен 249 д. ед. Однако объем производства Q1 = 9 и Q2 = 13 не достижим, поскольку соответствующие ему издержки производства составляют С(9;13) = 29 + 413 + 1 = 71 д. ед., что превышает 61 д. ед.

Поэтому решаем задачу на нахождение условного экстремума. Для этого составим функцию Лагранжа (Q1,Q2) = 20Q1 Q22 + 30Q2 Q22 (2Q1+4Q2+161), где   множитель Лагранжа. Найдем ее критические точки, решая систему уравнений:

Откуда следует: Q1 = 8, Q2 = 11. При этом оптимальное значение прибыли равно 244 д. ед., издержки производства составляют С (8,11) = 28 + 411 + 1= 61 (д. ед.), а доход от продаж R(8,11) = 12 8 + 1911 = 305 (д. ед.).

Графическая интерпретация полученного результата: так как линии уровня функции прибыли представляют собой концентрические окружности с центром в точке А(9; 13), то решение задачи достигается на линии С(Q1,Q2) = 2Q1 + 4Q2 + 1 = 61 в точке касания В(8; 11).



8 9 30

Ответ: Q1= 8 ед., Q2= 11ед.
Методические указания К выполнению задания 6.

Модель поведения потребителя

Набор благ , где хiколичество i-блага.

Набор цен , где рi- цена i-блага.

Бюджетное ограничение , где М – доход потребителя этих благ, образует бюджетное множество.

Функция полезности (utility) U(x1; x2;… xn) –«количественное» отношение потребителя к данному набору благ.

Предельные полезности благ M(marginal utilities).

Норма замены благ (marginal rate of substitution) MR

показывает, на сколько изменится потребление блага хj при уменьшении потребления блага хi на единицу.

Множество точек , для которых выполнено условие

U(x1; x2;…xn) = const, образует гиперповерхность безразличия (если n =2линию безразличия).

Основные задачи модели потребителя:

Задача №1. Найти наибольшую полезность U(x1; x2;… xn) при ограниченном бюджете

р1 х1 + р2 х2 + …+ рn хn М.

Задача №2. Найти наименьший бюджет М = р1 х1 + р2 х2 + …+ рn хn для получения заданной полезности U(x1; x2;… xn) = U0.

Задача №3. На основе максимизации функции полезности вывести функции спроса на продукты.

Все задачи являются задачами на условный экстремум. Для их решения составляют функцию Лагранжа и находят ее критические точки, то есть решают систему уравнений: Найденная точка = (x1, x2, … xn) называется точкой спроса. В общем случае точки спроса зависят от цен и дохода: = (p1, p2,.. pn,M).

Для случая n =2 (т.е. рассматривается модель двух товаров) геометрический смысл решения: в этой точке спроса линия безразличия касается бюджетной прямой. Это позволяет составить систему уравнений для решения каждой задачи.

Система уравнений для решения задачи №1: , где цены на продукты и доход потребителя заданы.

Система уравнений для решения задачи №2:

Система уравнений для решения задачи №3: , где цены на продукты и доход потребителя являются параметрами.
Пример. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более 10 000 д. ед. Известно, что цены товаров равны 250 д. ед. и 500 д. ед. соответственно.

Решение. Если первый товар покупается в количестве x единиц, а второй  в количестве y единиц, то за покупку будет заплачено 250x+ 500y д. ед., и эта сумма не может превышать 10 000 д. ед. Следовательно, 250x+ 500y 10 000.

Бюджетное множество задается условием и представляет собой на плоскости ХОУ треугольник ОАВ. Точки А и В имеют координаты (М/Р1;0) и (0;М/Р2) соответственно.


у

В


О С А х
Верхняя граница бюджетного множества называется бюджетной линией. Уравнение бюджетной линии имеет вид 25 х + 50 у = 1000.

Отметим, что тангенс наклона бюджетной линии равен tgC = P1/P2 = 0,5.

Методические указания К выполнению заданий 7, 8 и 9.

Динамические модели установления равновесия

В динамических задачах отражается зависимость переменных от времени. Время в динамических моделях может рассматриваться как непрерывное, так и дискретное. В дискретных моделях все переменные на промежутке времени [t; t+ 1) считаются постоянными.

Основные показатели, характеризующие динамику экономической величины A(t) (At в дискретном случае):

  1. Абсолютный прирост (absolute grow)

для дискретной модели At= At At-1;

для непрерывной модели A(t) = A(t+t) A(t).

2) Темп прироста (grow`s rate)

для дискретной модели gt = ;

для непрерывной модели g(t) =

Если темп прироста gt постоянен и равен g, то динамика величины Аt может быть описана как Аt0 (1+ g)t.

Если в непрерывной модели перейти к мгновенному изменению времени (t0), то

g(t) = При постоянном темпе прироста g(t) = g динамику величины А(t) можно записать как А(t) = a(0) egt .

Равновесие – это такое состояние объекта, которое он сохраняет во времени при отсутствии внешних воздействий. Пусть Аe  равновесное состояние величины А(t). Состояние равновесия устойчиво, если при отклонении А(t) >Ae динамика системы такова, что величина А(t) будет убывать, то есть возвращаться к состоянию равновесия. Если же изменение А(t) <Аe, то для того, чтобы система вернулась к состоянию равновесия, величина А(t) должна возрастать.
Пример. Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнением dr/dt = (I(r) S(r))/6, где функции инвестиций I(r) и сбережений S(r) заданы в виде I(r) = 20000 (r 0,1)/10, S(r)= 20000 + (r0,1)/ 5.

Вывести уравнение динамики процентной ставки r =r(t), если при t =0 ее значение равно r =0,13.

Определить уровень процентной ставки r при t =20.

Решение. Из условия задачи следует, что dr/dt = 0,05(r  0,1). разделяя переменные, получаем d(r0,l)/(r 0,l) = dt/20, что приводит к следующему решению r(t) = 0,1 + Cet/20. Константу С находим из начального условия:

0,13 = r(0) = 0,1 + С, т.е. С = 0,03.

Тогда уравнение динамики процентной ставки имеет вид r(t) = 0,1 + 0,03et/20 .

Подставляя в полученное решение t =20, получаем уровень процентной ставки при

t = 20: r(20) = 0,1 + 0,03/е  0,11.

Ответ: r(20)  0,11.

Пример. Динамика величины А(t) задана дифференциальным уравнением

A(t) =k (А(t) Ae). Показать, что состояние равновесия Ae будет устойчиво, если k < 0.

Решение. Если А(t) >Ae ,то А(t) Ae>0 и, следовательно, A(t) < 0, то есть функция А(t) убывает; если А(t) < Ae ,то А(t)  Ae<0 и, следовательно, A(t) > 0, то есть функция А(t) возрастает. При

k > 0 и А(t) >Ae A(t) > 0, то есть А(t) возрастает, и система продолжает уходить от состояния равновесия. Аналогично, если А(t) < Ae .
Пример. Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt = ImK, где K – основные фонды, I  инвестиции, m  коэффициент выбытия фондов.

Вывести уравнение динамики основных производственных фондов

K= K(t), если инвестиции и коэффициент выбытия фондов постоянны и равны I =50 и m =0,1 соответственно, а при t =0 объем основных фондов K =1000.

Решение. Из условия задачи следует dK/dt = 50 – 0,1K, откуда получаем

dK/d(K500) = 0,1dt, что приводит к следующему решению: K(t) = 500 + С e0,1t. Константу С находим из начального условия:

1000 = K(0) = 500 + С, т.е. С = 500.

Тогда уравнение динамики основных производственных фондов имеет вид

K(t) = 500 + 500e0,1t.

Ответ: K(t) = 500 + 500e0,1t.

7. ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Заданы функция полных издержек однопродуктовой фирмы C = C(Q) и функция спроса на производимый фирмой продукт P = P(Q):

1) C(Q) = Q2 +6 Q +10, P(Q) = 90 – 5Q ;

2) C(Q) = Q2 +4 Q +15, P(Q) = 104 – 4Q ;

3) C(Q) = Q2 + Q +7, P(Q) = 401 – 3Q ;

4) C(Q) = Q2 +4 Q +10, P(Q) = 100 – 2Q ;

5) C(Q) = Q2 +2 Q +16, P(Q) = 300 – 3Q ;

6) C(Q) =2 Q2 +12 Q +30, P(Q) = 108 – 10Q ;

7) C(Q) =2 Q2 +8 Q +100, P(Q) = 108 – 8Q ;

8) C(Q) =2Q2 +2 Q +15, P(Q) = 402 – 8Q ;

9) C(Q) =4 Q2 +10 Q +40, P(Q) = 100 – 5Q ;

10) C(Q) =2 Q2 +4 Q +30, P(Q) = 298 – 5Q.

Приложение 2

Заданы функция полных издержек однопродуктовой фирмы C = C(Q) и функция спроса на производимый фирмой продукт P = P(Q):

1) C(Q) =2 Q2 +12 Q +30, P(Q) = 108 – 10Q;

2) C(Q) =2 Q2 +8 Q +100, P(Q) = 108 – 8Q;

3) C(Q) =2Q2 +2 Q +15, P(Q) = 402 – 8Q;

4) C(Q) =4 Q2 +10 Q +40, P(Q) = 100 – 5Q;

5) C(Q) =2 Q2 +4 Q +30, P(Q) = 298 – 5Q;

6) C(Q) = Q2 +6 Q +10, P(Q) = 90 – 5Q;

7) C(Q) = Q2 +4 Q +15, P(Q) = 104 – 4Q;

8) C(Q) = Q2 + Q +7, P(Q) = 401 – 3Q;

9) C(Q) = Q2 +4 Q +10, P(Q) = 100 – 2Q;

10) C(Q) = Q2 +2 Q +16, P(Q) = 300 – 3Q.

Приложение 3

Заданы производственная функция Q =F(K,L) однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов; цены на ресурсы PK и PL и ограничение на издержки в объеме PK K+ PL L C0:

1) Q =15 K L; PK = 3; PL = 5; C0 =60;

2) Q =5 K1/2 L; PK = 3; PL = 6; C0 = 36;

3) Q =10 K L1/2; PK = 4; PL = 5; C0 = 30;

4) Q =20 K L; PK = 5 ; PL = 4; C0 = 80;

5) Q =12 K1/2 L1/2; PK = 6; PL = 5; C0 = 60;

6) Q =55 K L1/2; PK = 6; PL = 3; C0 = 36;

7) Q =13 K L; PK = 5; PL = 6; C0 = 120;

8) Q =50 K1/2 L; PK = 5; PL = 4; C0 = 30;

9) Q =10 K L1/2; PK = 8; PL =5; C0 = 60;

10) Q =25 K L; PK = 7; PL = 3; C0 = 84.

Приложение 4

Заданы производственная функция Q = F(K,L) однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов; объем выпуска Q =Q0; цены на ресурсы PK и PL:

1) Q = 10 K1/2 L; Q0 = 320; PK = 8; PL = 4;

2) Q = 20 KL1/2; Q0 = 960; PK = 20; PL = 60;

3) Q = 30 KL; Q0 = 60; PK = 10; PL = 5;

4) Q = 40 K1/2L1/2; Q0 = 160; PK = 8; PL = 2;

5) Q = 11 KL1/2; Q0 = 528; PK = 4; PL = 12;

6) Q = 15 K1/2L; Q0 = 240; PK = 4; PL = 4;

7) Q = 21 K1/2L1/2; Q0 = 84; PK = 4; PL = 1;

8) Q = 12 K1/2L; Q0 = 384; PK = 4; PL = 2;

9) Q = 5 KL; Q0 = 160; PK = 6; PL = 3;

10) Q = 15KL1/2; Q0 = 720; PK = 20; PL = 60.
Приложение 5

Заданы функция полных издержек двухпродуктовой формы C = C(Q1,Q2), где Q1 и Q2– объемы выпуска товаров первого и второго видов соответственно, функции спроса

P1 = P1(Q1), P2 = P2(Q2) на эти товары и ограничение на полные издержки C(Q1,Q2)  C0:

1) C (Q1,Q2) = Q12 +Q22 +200, P1(Q1) = 30, P2(Q2) =50, C0 =800;

2) C (Q1,Q2) = 2 Q12 +4 Q22 +150, P1(Q1) = 20, P2(Q2) =40, C0 =200;

3) C (Q1,Q2) = 3 Q12 + 5 Q22 +250, P1(Q1) = 60, P2(Q2) =80, C0 =800;

4) C (Q1,Q2) = Q12 + 6 Q22 +300, P1(Q1) = 80, P2(Q2) =144, C0 =2000;

5) C (Q1,Q2) = Q12 +Q22 +200, P1(Q1) = 60, P2(Q2) =50, C0 =1500;

6) C (Q1,Q2) = Q1 +2Q2 +2, P1(Q1) =15  Q1, P2(Q2) =40 Q2, C0 =72;

7) C (Q1,Q2) = 2Q1 +2Q2 +4, P1(Q1) =10  Q1, P2(Q2) =8  Q2, C0 =16;

8) C (Q1,Q2) = 4Q1 +2Q2 +10, P1(Q1) =30  Q1, P2(Q2) =40  Q2, C0 =78;

9) C (Q1,Q2) = 3Q1 +Q2 +5, P1(Q1) =9  Q1, P2(Q2) =11 Q2, C0 =16;

10) C (Q1,Q2) = 4Q1 +4Q2 +10, P1(Q1) =24  Q1, P2(Q2) =20  Q2, C0 =74.
Приложение 6

Заданы функция полезности U =U(Q1,Q2) двух видов товаров; цены на эти товары P1 и P2 и ограничение на доход потребителя этих товаров P1 Q1+ P2Q2M:

1) U = 25 Q1Q2; P1 = 3; P2 = 7; M = 84;

2) U = 55 Q1Q21/2; P1 = 6; P2 = 3; M = 36;

3) U = 12Q1Q2; P1 = 5; P2 = 6; M = 60;

4) U = 20Q1Q2; P1 = 4; P2 = 5; M = 80;

5) U = 5Q1 1/2Q2; P1 = 3; P2 = 6; M = 36;

6) U = 10Q11/2Q2; P1 = 5; P2 = 8; M = 60;

7) U = 13Q1Q2; P1 = 6; P2 = 5; M = 120;

8) U = 10Q1Q21/2; P1 = 4; P2 = 5; M = 30;

9) U = 15Q1Q2; P1 = 5; P2 = 3; M = 60;

10) U = 50Q11/2Q2; P1 = 5; P2 = 4; M = 30.

Приложение 7

Заданы коэффициент адаптации a процентной ставки r; зависимость объема инвестиций от размера процентной ставки I =I(r); зависимость объема сбережений от размера процентной ставки S = S(r) и размер процентной ставки в момент времени t = 0:

1) a =4; I(r)=2000 – 0,2 (r – 0,2); S(r)=2000 + 0,1 (r – 0,2); r(0) =0,1;

2) a =2; I(r)=3000 – 0,2 (r – 0,3); S(r)=3000 + 0,25 (r – 0,3); r(0) =0,1;

3) a =3; I(r)=1000 – 0,1 (r – 0,1); S(r)=1000 + 0,2 (r – 0,1); r(0) =0,12;

4) a =4; I(r)=2000 – 0,25(r – 0,2); S(r)=2000 + 0,2(r – 0,2); r(0) =0,25;

5) a =2; I(r)=2000 – 0,1 (r – 0,2); S(r)=2000 + 0,2 (r – 0,2); r(0) =0,3;

6) a =4; I(r)=2000 – 0,2 (r – 0,2); S(r)=2000 + 0,2 (r – 0,2); r(0) =0,25;

7) a =2; I(r)=3000 – 0,2 (r – 0,3); S(r)=3000 + 0,2 5(r – 0,3); r(0) =0,4;

8) a =3; I(r)=1000 – 0,5 (r – 0,1); S(r)=1000 + 0,2 (r – 0,1); r(0) =0,05;

9) a =4; I(r)=2000 – 0,25(r – 0,2); S(r)=2000 + 0,5(r – 0,2); r(0) =0,1;

10) a =2; I(r)=2000 – 0,2 (r – 0,2); S(r)=2000 + 0,1 (r – 0,2); r(0) =0,1.
Приложение 8

Заданы коэффициент адаптации a реальной заработной платы w; зависимость предложения рабочей силы от размера реальной заработной платы Ns =Ns (w); зависимость спроса на рабочую силу от размера реальной заработной платы Nd = Nd (w); и размер реальной заработной платы в момент времени t = 0:

1) a =4; N d (w) =1000– 0,2 (w – 200); N s (w) =1000 + 0,1 (w – 200); w(0) =250;

2) a =2; N d (w) =3000 – 0,2 (w – 300); N s (w) =3000 + 0,5 (w – 300); w(0) =400;

3) a =3; N d (w) =1000 – 0,2 (w – 100); N s (w) =1000 + 0,1 (w – 100); w(0) =50;

4) a =4; N d (w) =2000 – 0,25(w – 200); N s (w) =2000 + 0,2(w – 200); w(0) =10;

5) a =2; N d (w) =2000 – 0,2 (w – 200); N s (w) =2000 + 0,2 (w – 200); w(0) =100;

6) a =4; N d (w) =1000 – 0,25 (w – 200); N s (w) =1000 + 0,2 (w – 200); w(0) =100;

7) a =2; N d (w) =3000 – 0,2 (w – 300); N s (w) =3000 + 0,1 (w – 300); w(0) =10;

8) a =3; N d (w) =2000 – 0,2 (w – 100); N s (w) =2000 + 0,5 (w – 100); w(0) =120;

9) a =4; N d (w) =2000 – 0,25(w – 200); N s (w) =2000 + 0,5(w – 200); w(0) =250;

10) a 2; N d (w) =1000 – 0,1 (w – 200); N s (w) =1000 + 0,2 (w – 200); w(0) =30.
Приложение 9

Заданы объем инвестиций I; коэффициент выбытия производственных фондов m и объем производственных фондов K в момент времени t = 0:

1) I =50; m =0,1; K (0) =600; 2) I =60; m =0,2; K(0) =200;

3) I =70; m =0,1; K (0) =800; 4) I =60; m =0,1; K(0) =700;

5) I =80; m =0,2; K (0) =300; 6) I =90; m =0,2; K(0) =100;

7) I =90; m =0,1; K (0) =1000; 8) I =60; m =0,2; K(0) =200;

9) I =100; m =0,1; K (0) =800; 10) I =100; m =0,2; K(0) =500.

8. ГЛОССАРИЙ

Бюджетное множество (budget set) –все комбинации товаров, которые потребитель имеет возможность купить на данный доход при данных ценах этих товаров.

Доход (revenue) – выручка, получаемая фирмой от продажи товара.

Доход предельный (marginal revenue) – дополнительный доход, получаемый при продаже дополнительной единицы продукции (в линейном приближении).

Доход средний (average revenue) – доход, приходящийся на единицу проданного товара.

Дуополия (duopoly) – рынок товара, который поставляют два продавца.

Изокванта (isoquant) –линия постоянного выпуска.

Издержки предельные (marginal costs) – дополнительные издержки, связанные с увеличением производства данного товара на единицу (в линейном приближении).

Издержки средние (average costs) издержки на единицу выпуска продукции.

Изокоста (isocost line) линия постоянных затрат.

Изопрофита (isoprofit) – линия постоянной прибыли.

Кривая безразличия (indifference curve) – линия постоянной полезности.

Кривая Лафера (Laffer curve) – кривая, показывающая зависимость бюджетных поступлений от величины налоговой ставки.

Кривая Энгеля (Engel curve) – кривая, показывающая зависимость потребления товара от дохода потребителя.

Норма (предельная) замещения (marginal rate of substitution) показывает, на сколько изменится потребление одного блага при уменьшении потребления другого блага на единицу (в линейном приближении).

Полезность предельная (marginal utility) – полезность последней единицы потребляемого блага (в линейном приближении).

Прибыль (profit) разность между совокупными доходами и совокупными затратами.

Производственная функция (production function) зависимость выпуска продукции от производственных факторов: капитала и труда.

Равновесная цена (equilibrium price) – цена, уравновешивающая спрос и предложение в результате действия конкурентных сил.

Темп прироста (grow`s rate) функции – логарифмическая производная функции, если она непрерывно зависит от времени.

Функция полезности (utility function) –«количественное» отношение потребителя к данному набору благ.

Функция предложения (supply function) – зависимость между ценой блага и объемом его предложения.

Функция спроса (demand function) зависимость между ценой блага и объемом его спроса.

Эластичность (elasticity) – мера чувствительности спроса к изменению цены.

Эластичность спроса по цене (price elasticity of demand) показывает, на сколько % изменится спрос при увеличении цены на один % (в линейном приближении).

Эластичность спроса по доходу (income elasticity of demand) показывает, на сколько % изменится спрос при увеличении дохода на один % (в линейном приближении).

Эластичность предложения по цене (price elasticity of supply) показывает, на сколько % изменится предложение при увеличении цены на один % (в линейном приближении).


1   2   3   4

Похожие:

Институт заочного обучения iconМетодические указания, рекомендации и варианты контрольных работ...
Дисциплина История России изучается на 1 курсе факультета заочного обучения. По итогам обучения слушатели сдают экзамен

Институт заочного обучения iconМетодические указания и задания контрольной работы для слушателей...
Ческие указания и задания контрольной работы для слушателей и студентов заочного обучения по специальности 280705 Пожарная безопасность...

Институт заочного обучения iconУчебное пособие Для студентов заочного обучения
А65 Философия: Учебное пособие для студентов заочного обучения / М. Р. Зобова, А. Ф. Родюков. – Спб. Издательство Спбгут, 2012. –...

Институт заочного обучения iconМинистерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным...
История России: Методические указания, рекомендации и варианты контрольных работ для слушателей факультета заочного обучения – Екатеринбург:...

Институт заочного обучения iconУчебной дисциплине Педагогика для студентов отделения заочного обучения
Тема Инновационные педагогические системы и технологии обучения и развития дошкольников

Институт заочного обучения iconМетодические рекомендации по изучению дисциплины для слушателей факультета...
Методические рекомендации по изучению дисциплины для слушателей факультета заочного обучения

Институт заочного обучения iconУчебный план дисциплины Дисциплина «Инновационный менеджмент» изучается...
Дисциплина «Инновационный менеджмент» изучается на пятом курсе обучения. Курс заочного обучения рассчитан на 14 академических часов,...

Институт заочного обучения iconКарта профессионального роста педагога кгу «сш №15» классов вечернего (заочного) обучения

Институт заочного обучения iconМетодическое пособие для студентов заочного отделения вшбэ составил: Домбровский М. А
Курс рассчитан на студентов заочного отделения, получающих высшее образование на базе среднего профессионального или высшего

Институт заочного обучения iconАнглийский язык
Успех заочного обучения в первую очередь зависит от четкой организации самостоятельной работы студента, чему будут способствовать...


Учебный материал


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
5-bal.ru